Звягильский появился на свет 20 марта 1933 в Донецке. В 1956 окончил высокий отделение Донецкого промышленного факультета по квалификации высокий инженер.
С 1957 по 1970 Звягильский прошел служебную лестницу от ассистента руководителя угольного отдела до руководителя шахты №13 треста Куйбышевуголь в Донецке. С 1970 по 1979 год работал главным директором шахтоуправления Куйбышевская, а до 1992 года был главным директором Шахты имени Засядько.
В начале марта 1990 член КПСС Ефим Звягильский был выбран народным парламентарием от одномандатного селективного округа №112. Одновременно к данному он на протяжении еще 2-ух лет оставался на собственной старой работе на Шахте имени Засядько, а в начале ноября 1992 был выбран главой донецких городского совета и горисполкома.
В начале июня 1993 Звягильский был назначен первым заместителем премьера в офисе Леонида Кучмы. 22 октября такого же года после отставки заключительного, Звягильскому возложили выполнять прямые обязанности премьера.
На депутатских отборах в начале марта 1994 Звягильский снова был выбран парламентарием Высшей Рады, но в этот раз от одномандатного селективного округа №110 и как непартийный.
Звягильский стал одним из лидеров Партии районов на Донбассе и на депутатских отборах в 2002 был выбран народным парламентарием в 4-й раз. В 2006 он в 5-й раз подряд стал членом российского конгресса (№9 селективного перечня Партии районов). Спустя два года Звягильский опять стал парламентарием Высшей Рады.
В 2012 году он прошел в конгресс, выиграв в округе в Донецке. Так что, он стал одним из 2-ух парламентариев, которые работали во всех созывах российского конгресса.